Rabu, 02 Oktober 2019

Determinan Metode Chio & Sifat - Sifat Determinan


Determinan Metode Chio
Determinan merupakan suatu fungsi dari himpunan semua matriks persegi ke himpunan semua bilangan real. Determinan matriks A biasanya dinyatakan oleh |A| atau det(A). Terdapat beberapa metode yang digunakan untuk menentukan determinan matriks yaitu metode SarrusEkspansi Kofaktor, dan Kondensasi (Penyusutan) CHIO. Kondensasi CHIO merupakan salah satu metode yang dapat digunakan dalam menentukan determinan matriks yang memiliki ordo n \times n dengan n \geq 3.
Kondensasi CHIO menyusutkan determinan matriks ordo n \times n menjadi ordo (n-1) \times (n-1) dan dikalikan dengan elemen a_{11}. Proses kondensasi ini berakhir pada determinan matriks ordo 2 \times 2
Tanpa mengurangi perumuman, dalam tulisan ini menggunakan matriks persegi dengan syarat elemen a_{11} \neq 0. Apabila nilai elemen a_{11} = 0 maka dilakukan proses operasi baris/kolom yaitu menukarkan baris/kolom pada determinan matriks untuk memperoleh a_{11} \neq 0.

Perhatikan untuk matrik dengan ordo 3 \times 3. Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut.
det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{3-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} &  a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} &  a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix}\\ &\\ \begin{vmatrix} a_{11}  & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11}  & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} \end{vmatrix}
Selanjutnya untuk matrik dengan ordo 4 \times 4. Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut.
det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{4-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} &  a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} &  a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix}  a_{11} & a_{14}\\ a_{21} & a_{24} \end{vmatrix}\\ &&\\  \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} &  \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &  \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14}\\ a_{31} & a_{34}  \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{41} &  a_{42} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{41} &  a_{43} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14}\\  a_{41} & a_{44} \end{vmatrix}\\ \end{vmatrix}
Apabila ukuran matriksnya diperluas atau diperumum menjadi n \times n, maka diperoleh persamaan untuk metode CHIO adalah sebagai berikut.
det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{n-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} &  a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} &  a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & \ldots & \begin{vmatrix}  a_{11} & a_{1n}\\ a_{21} & a_{2n} \end{vmatrix}\\ &&&\\  \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} &  \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &  \ldots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{31} & a_{3n}  \end{vmatrix}\\ &&&\\ \vdots & \vdots & \ddots &  \vdots\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{n1} & a_{n2}  \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{n1} & a_{n3}  \end{vmatrix} & \ldots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{n1}  & a_{nn} \end{vmatrix}\\ \end{vmatrix}
Contoh 1.
Hitung determinan matriks A = \begin{bmatrix} -2&1&4\\ 3&-5&2\\ 5&2&1 \end{bmatrix}.
Dengan menggunakan metode CHIO, maka didapat
det(A) = \dfrac{1}{(-2)^{3-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} -2&1\\ 3&-5  \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} -2&4\\ 3&2 \end{vmatrix}\\ &\\  \begin{vmatrix} -2&1\\ 5&2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} -2&4\\  5&1 \end{vmatrix} \end{vmatrix}
= \dfrac{1}{-2} \begin{vmatrix} (-5)(-2)-(3)(1) & (-2)(2)-(3)(4)\\ (-2)(2)-(1)(5) & (-2)(1)-(4)(5) \end{vmatrix}
= \dfrac{1}{-2} \begin{vmatrix} 7&-16\\ -9&-22 \end{vmatrix}
= \dfrac{1}{-2} (7 \cdot -22-(-16) \cdot -9)
= \dfrac{1}{-2} (-154-144)
= \dfrac{1}{-2} (-298)
= -149
Contoh 2.
Hitung determinan matriks B = \begin{bmatrix} 2&1&6&7\\ 3&2&4&5\\ 4&4&2&3\\ 5&6&1&4 \end{bmatrix}.
Dengan menggunakan metode CHIO, maka didapat
det(B) = \dfrac{1}{(2)^{4-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} 2&1\\ 3&2  \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&6\\ 3&4 \end{vmatrix} &  \begin{vmatrix} 2&7\\ 3&5 \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} 2&1\\  4&4 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&6\\ 4&2 \end{vmatrix} &  \begin{vmatrix} 2&7\\ 4&3 \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} 2&1\\  5&6 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&6\\ 5&1 \end{vmatrix} &  \begin{vmatrix} 2&7\\ 5&4 \end{vmatrix} \end{vmatrix}
= \dfrac{1}{2^2} \begin{vmatrix} (2)(2)-(3)(1) & (2)(4)-(3)(6) & (2)(5)-(3)(7)\\ (2)(4)-(1)(4) & (2)(2)-(4)(6) & (2)(3)-(7)(4)\\ (2)(6)-(1)(5) & (2)(1)-(6)(5) & (2)(4)-(7)(5) \end{vmatrix}
= \dfrac{1}{4} \begin{vmatrix} 1&-10&-11 \\ 4&-20&-22\\ 7&-28&-27  \end{vmatrix}
Misal C = \begin{vmatrix} 1&-10&-11 \\ 4&-20&-22\\ 7&-28&-27 \end{vmatrix}, diperoleh
det(C) = \dfrac{1}{1^{3-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} 1&-10\\ 4&-20  \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1&-11\\ 4&-22 \end{vmatrix}\\  &\\ \begin{vmatrix} 1&-10\\ 7&-28 \end{vmatrix} &  \begin{vmatrix} 1&-11\\ 7&-27 \end{vmatrix} \end{vmatrix}
= \dfrac{1}{1} \begin{vmatrix} (1)(-20)-(4)(-10) & (1)(-22)-(-11)(4)\\ (1)(-28)-(-10)(7)  & (1)(-27)-(-11)(7) \end{vmatrix}
= \begin{vmatrix} 20 & 22\\ 42 & 50 \end{vmatrix}
= (20 \cdot 50-22 \cdot 42
= 1000-924
= 76

Jadi,
det(B) = \dfrac{1}{4} det(C)
= \dfrac{1}{4} (76)
= 19


Sifat-Sifat Determinan Matriks


Sifat-sifat determinan matriks sangat bermanfaat ketika menghitung matriks-matriks dengan karakteristik khusus. Seperti matriks dengan elemen nol, matriks segitiga atas/bawah, dan matriks dengan baris sebanding.
Sifat determinan ini berlaku untuk semua ordo matriks persegi, yaitu matriks 2×2, 3×3, 4×4, dan seterusnya.
Namun, seperti yang kita tahu cukup sulit menghitung determinan matriks berordo lebih besar dari 3×3, maka contoh sifat-sifat determinan hanya menggunakan matriks ordo 2×2 dan 3×3.
Sifat Determinan
Dalam perhitungan hanya metode Sarrus yang digunakan, karena metode ini lebih mudah dibandingkan dua metode lainnya.
  1. Jika matriks A sembarang yang semua elemen dalam salah satu baris atau kolomnya adalah nol, maka determinan A = 0.
Contoh matriks 2×2
BarisKolom
\vspace{1pc}A= \begin{bmatrix} 3 &-1\\ 0& 0\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A\right|=3.0-(-1.0)=0\\ \vspace{1pc}B= \begin{bmatrix} 0 &-1\\ 0& 4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B\right|=0.4-(-1.0)=0
Contoh matriks 3×3
BarisKolom
\vspace{1pc}C= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 0& 0&0\\4 &-3&1\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|C\right|=3.0.1+(-1).0.4+2.0.(-3)\\-(2.0.4+3.0.(-3)+(-1).0.1)=0\vspace{1pc}D= \begin{bmatrix} 3 &-1 &0\\ 5& 2&0\\4 &-3&0\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|D\right|=3.2.0+(-1).0.4+0.5.(-3)\\-(0.2.4+3.0.(-3)+(-1).5.0)=0
2. Jika matriks A sembarang adalah matriks segitiga atas, matriks segitiga bawah, atau matriks diagonal, maka determinan A = hasil kali elemen diagonal utama.
Contoh matriks 2×2
Segitiga AtasSegitiga Bawah
\vspace{1pc}A= \begin{bmatrix} 3 &-1\\ 0& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A\right|=3\times2=6\\ \vspace{1pc}B= \begin{bmatrix} 3 &0\\ 4& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B\right|=3\times2=6
Diagonal
\vspace{1pc}C= \begin{bmatrix} 3 &0\\ 0& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|C\right|=3\times2=6
Contoh matriks 3×3
Segitiga AtasSegitiga Bawah
\vspace{1pc}D= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 0& 2&6\\0 &0&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|D\right|=3\times2\times4=24\vspace{1pc}E= \begin{bmatrix} 3 &0 &0\\ 5& 2&0\\1 &-3&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|E\right|= 3\times2\times4=24
Diagonal
\vspace{1pc}F= \begin{bmatrix} 3 &0 &0\\ 0& 2&0\\0&0&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|F\right|= 3\times2\times4=24

3. Jika matriks A’ adalah matriks yang diperoleh dari matriks A setelah salah satu baris/kolomnya dikalikan dengan konstanta k, maka determinan A’ = k x Det A.
Contoh matriks 2×2
Matriks A
\vspace{1pc}A= \begin{bmatrix} 3 &-1\\ 5& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A\right|=3.2-(-1).5=11
A’ (Baris)A’ (Kolom)
\vspace{1pc}k=3\\ \vspace{1pc}Baris\;ke-1\\ \vspace{1pc}Rumus=3R1\\ \vspace{1pc} A'= \begin{bmatrix} 9 &-3\\ 5& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A'\right|=9.2-(-3).5=33\\ \vspace{1pc}atau\\A'= k\times\left|A\right|=3\times11=33\vspace{1pc}k=3\\ \vspace{1pc}Kolom\;ke-2\\ \vspace{1pc}Rumus=3C2\\ \vspace{1pc} A'= \begin{bmatrix} 3 &-3\\ 5& 6\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A'\right|=3.6-(-3).5=33\\ \vspace{1pc}atau\\A'= k\times\left|A\right|=3\times11=33
Contoh matriks 3×3
Matriks B
\vspace{1pc}B= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 5& 2&6\\1 &-3&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B\right|= 3.2.4+(-1).6.1+2.5.(-3)\\ \vspace{1pc}-(2.2.1+3.6.(-3)+(-1).5.4)\\ \vspace{1pc}\left|B\right|=24-6-30-(4-54-20)=58
B’ (Baris)
\vspace{1pc}k=2\\ \vspace{1pc}Baris\;ke-3\\ \vspace{1pc}Rumus=2R3\\ \vspace{1pc}B'= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 5& 2&6\\2 &-6&8\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=3.2.8+(-1).6.2+2.5.(-6)\\ \vspace{1pc}-(2.2.2+3.6.(-6)+(-1).5.8)\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=48-12-60-(8-108-40)=116
B’ (Kolom)
\vspace{1pc}k=2\\ \vspace{1pc}Kolom\;ke-2\\ \vspace{1pc}Rumus=2C2\\ \vspace{1pc}B'= \begin{bmatrix} 3 &-2 &2\\ 5& 4&6\\1 &-6&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=3.4.4+(-2).6.1+2.5.(-6)\\ \vspace{1pc}-(2.4.1+3.6.(-6)+(-2).5.8)\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=48-12-60-(8-108-40)=116
4. Jika matriks A’ dihasilkan dari matriks A setelah dua baris/kolomnya ditukarkan, maka determinan A’ = – det A.
Contoh matriks 2×2
Matriks A
\vspace{1pc}A= \begin{bmatrix} 3 &-1\\ 5& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A\right|=3.2-(-1).5=11
Tukar BarisTukar Kolom
\vspace{1pc}Rumus=R1\Leftrightarrow R2\\ \vspace{1pc} A'= \begin{bmatrix} 5 &2\\ 3& -1\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A'\right|=5.(-1)-2.3=-11\\ \vspace{1pc}atau\\ \left|A'\right|= -\left|A\right|=-(11)=-11\vspace{1pc}Rumus=C1\Leftrightarrow C2\\ \vspace{1pc} A'= \begin{bmatrix} -1 &3\\ 2& 5\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A'\right|=(-1).5-3.2=-11\\ \vspace{1pc}atau\\ \left|A'\right|= -\left|A\right|=-(11)=-11
Contoh matriks 3×3
Matriks B
\vspace{1pc}B= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 5& 2&6\\1 &-3&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B\right|= 3.2.4+(-1).6.1+2.5.(-3)\\ \vspace{1pc}-(2.2.1+3.6.(-3)+(-1).5.4)\\ \vspace{1pc}\left|B\right|=24-6-30-(4-54-20)=58
Tukar Baris
\vspace{1pc}Rumus=R1\Leftrightarrow R3\\ \vspace{1pc}B'= \begin{bmatrix} 1 &-3&4\\ 5& 2&6\\3 &-1 &2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=1.2.2+(-3).6.3+4.5.(-1)\\ \vspace{1pc}-(4.2.3+1.6.(-1)+(-3).5.2)\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=4-54-20-(24-6-30)=-58\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=-\left|B\right|=-58
Tukar Kolom
\vspace{1pc}Rumus=C2\Leftrightarrow C3\\ \vspace{1pc}B'= \begin{bmatrix} 3 &2 &-1\\ 5& 6&2\\1 &4&-3\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=(-3).6.3+2.2.1++(-1).5.4\\ \vspace{1pc}-((-1).6.1+3.2.4+2.5.(-3))\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=-54+4-20-(-6+24-30)=-58\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=-\left|B\right|=-58
5. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan dari matriks A setelah salah satu baris/kolomnya dikalikan dengan konstanta kemudian dijumlahkan/dikurangkan terhadap baris/kolom yang lainnya, maka determinan A’ = determinan A.
Matriks A
\vspace{1pc}A= \begin{bmatrix} 3 &-1\\ 5& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A\right|=3.2-(-1).5=11
BarisKolom
\vspace{1pc}R1+2R2\mapsto R1\\ \vspace{1pc}A'= \begin{bmatrix} 13 &3\\ 5& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A'\right|=13.2-3.5=11\vspace{1pc}C2-\frac{1}{3}C1\mapsto C2\\ \vspace{1pc}A'= \begin{bmatrix} 3 &-2\\ 5& \frac{1}{3}\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A'\right|=3.\frac{1}{3}-(-2).5=11
Contoh matriks 3×3
Matriks B
\vspace{1pc}B= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 5& 2&6\\1 &-3&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B\right|= 3.2.4+(-1).6.1+2.5.(-3)\\ \vspace{1pc}-(2.2.1+3.6.(-3)+(-1).5.4)\\ \vspace{1pc}\left|B\right|=24-6-30-(4-54-20)=58
Baris
\vspace{1pc}R2-\frac{1}{3}R1\mapsto R2\\ \vspace{1pc}B'= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 0& \frac{11}{3}&\frac{8}{3}\\1 &-3&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=3.\frac{11}{3}.4+(-1).\frac{8}{3}.1+2.0.(-3)\\ \vspace{1pc}-(2.\frac{11}{3}.1+3.\frac{8}{3}.(-3)+(-1).0.4)\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=44+0-\frac{8}{3}-(\frac{22}{3}-24+0)=58
Kolom
\vspace{1pc}C1+2C3\mapsto C1\\ \vspace{1pc}B'= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 5& 2&6\\1 &-3&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=7.2.4+(-1).6.9+2.17.(-3)\\ \vspace{1pc}-(2.2.9+7.6.(-3)+(-1).17.4)\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=56-54-102-(36-126-68)=58
6. Jika sebuah matriks mempunyai dua baris yang elemen-elemennya sebanding, maka determinannya adalah nol.
 Dua Baris Sama
\vspace{1pc}A= \begin{bmatrix} 3 &-1\\ 3& -1\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A\right|=3.(-1)-(-1).3=0
Baris SebandingKolom Sebanding
\vspace{1pc}B= \begin{bmatrix} 3 &-1\\ -3& 1\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B\right|=3.(-1)-(-3).1=0\vspace{1pc}C= \begin{bmatrix} 3 &-1\\ 6& -2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|C\right|=3.(-2)-(-1).6=0
Contoh matriks 3×3
Dua Baris Sama
\vspace{1pc}R1=R3\\ \vspace{1pc}D=\begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 5& 2&6\\3 &-1 &2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|D\right|= 3.2.2+(-1).6.3+2.5.(-1)\\ \vspace{1pc}-(2.2.3+3.6.(-1)+(-1).5.2)\\ \vspace{1pc}\left|D\right|=12-18-10-(12-18-10)=0
Baris Sebanding
\vspace{1pc}R2\;sebanding\;R3\\ \vspace{1pc}E= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 2& -6&8\\1 &-3&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|E\right|=3.(-6).4+(-1).8.1+2.2.(-3)\\ \vspace{1pc}-(2.(-6).1+3.8.(-3)+(-1).2.4)\\ \vspace{1pc}\left|E\right|=-72-8-12-(-12-72-8)=0
Kolom Sebanding
\vspace{1pc}C1\;sebanding\;C2\\ \vspace{1pc}F= \begin{bmatrix} 2 &-1 &2\\ -4& 2&6\\6 &-3&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|F\right|=2.2.4+(-1).6.6+2.(-4).(-3)\\ \vspace{1pc}-(2.2.6+2.6.(-3)+(-1).(-4).4)\\ \vspace{1pc}\left|F\right|=16-36+24-(24-36+16)=0
7. Suatu matriks nilai determinannya tidak akan berubah jika barisnya dijadikan kolom.
Dengan kata lain determinan matriks asal sama dengan determinan matriks hasil transpose.
Contoh matriks 2×2
Matriks ATranspose A
\vspace{1pc}A= \begin{bmatrix} 3 &-1\\ 5& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A\right|=3.2-(-1).5=11\vspace{1pc}A^T= \begin{bmatrix} 3 &5\\ -1& 2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|A^T\right|=3.2-5.(-1)=11
Contoh matriks 3×3
Matriks B
\vspace{1pc}B= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 5& 2&6\\1 &-3&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B\right|= 3.2.4+(-1).6.1+2.5.(-3)\\ \vspace{1pc}-(2.2.1+3.6.(-3)+(-1).5.4)\\ \vspace{1pc}\left|B\right|=24-6-30-(4-54-20)=58
Baris Sebanding
\vspace{1pc}B^T= \begin{bmatrix} 3 &5 &1\\ -1& 2&-3\\2 &6&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B^T\right|= 3.2.4+5.(-3).2+1.(-1).6\\ \vspace{1pc}-(1.2.2+3.(-3).6+5.(-1).4)\\ \vspace{1pc}\left|B^T\right|=24-30-6-(4-54-20)=58

0 komentar:

Posting Komentar